объект.className

Пример

<a href='https://www.wisdomweb.ru' id='ww' class='wisdomweb'>wisdomweb.ru</a>
....
//Узнаем текущее значение атрибута class элемента с id=ww и выведем результат на страницу
document.write(document.getElementById('ww').className+'<br />');
//Изменим текущее значение атрибута class на wisdomwebru
document.getElementById('ww').className='wisdomwebru';
//Узнаем значение атрибута class еще раз и выведем результат на страницу
document.write(document.getElementById('ww').className+'<br />');